泛函分析¶

常见空间¶

\(l_p\) 空间¶

\(l_p\) 空间的定义：

\[ l_p = \left\{\mathbf{x} = (x_1, x_2, \ldots) \left| \sum_{i=1}^{\infty} \left| x_i \right|^p < \infty\right.\right\} \]

\(L^p\) 空间¶

\(L^p\) 空间的定义：

\[ \mathcal{L}ƒ^p(X,\mu) = \left\{f: X \to \mathbb{R} \left| \int_X \left| f(x) \right|^p \mathrm{d}x < \infty\right.\right\} \]

等价关系

严格来说，上面的定义并不是 \(L^p(X,\mu)\), 而是 \(\mathcal{L}^p(X,\mu)\), 因为 \(\lVert \cdot \rVert_p\) 只构成一个半范数，而不是范数。采取一个较为标准的拓扑方法，只需要考虑 \(\mathcal{L}^p(X,\mu)\) 满足 \(\lVert f \rVert_p = 0\) 的全部函数：

\[ N = \left\{f: X \to \mathbb{R} \left| \int_X \left| f(x) \right|^p \mathrm{d}x = 0\right.\right\} \]

即 \(f \rightarrow \lVert f \rVert_p\) 的零空间。对于可测函数来说 \(\lVert f\rVert_p = 0 \Leftrightarrow \mu \left(f\neq 0\right) = 0\). 只需要将 \(L_p(X,\mu)\) 定义为 \(\mathcal{L}^p(X,\mu)/N\) 即可。

Fubini / Tonelli 定理¶

Fubini 定理：考虑 \(f(x,y)\) 在 \(X\times Y\) 的一个矩形区域上 Lebesgue 可积，即

\[ \int_{X\times Y} \left| f(x,y) \right| \mathrm{d}(x,y) < \infty \]

那么：

\[ \int_{X\times Y} f(x,y) \mathrm{d}(x,y) = \int_X \left(\int_Y f(x,y) \mathrm{d}y\right) \mathrm{d}x = \int_Y \left(\int_X f(x,y) \mathrm{d}x\right) \mathrm{d}y \]

Tonelli 定理：考虑 \(f(x,y)\) 在 \(X\times Y\) 的一个矩形区域上非负可测，即：\(f: X\times Y \to [0, \infty]\), 那么：

\[ \int_{X\times Y} f(x,y) \mathrm{d}x\mathrm{d}y = \int_X \left(\int_Y f(x,y) \mathrm{d}y\right) \mathrm{d}x = \int_Y \left(\int_X f(x,y) \mathrm{d}x\right) \mathrm{d}y \]

卷积 Convolution¶

定义¶

连续情况：

考虑 \(L^1\) 上的两个函数 \(f(x)\) 和 \(g(x)\)，它们的卷积定义为：

\[ (f * g)(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x - t) g(t) \mathrm{d} t \]

考虑定义域限制 \(f, g: [0,\infty) \to \mathbb{R}\)，则卷积操作变为：

\[ (f * g)(x) = \int_{0}^{x} f(x - t) g(t) \mathrm{d}t \]

实际上是上面定义的自然推广，只需补充 \(f, g: (-\infty,0) \to \{0\}\) 即可。

一般的，对于 \(L^1\left(\mathbb{R}^n\right)\) 上的函数，卷积定义为：

\[ (f * g)(\mathbf{x}) = \int_{\mathbb{R}^n} f(\mathbf{x} - \mathbf{t}) g(\mathbf{t}) \mathrm{d}\mathbf{t} \]
离散情况：

考虑 \(l^1\) 上的两个序列 \(\{f_n\}\) 和 \(\{g_n\}\)，它们的卷积定义为：

\[ (f * g)_n = \sum_{k=-\infty}^{\infty} f_{n-k} \cdot g_k \]

性质¶

交换性，即 \((f * g)(x) = (g * f)(x)\)
对 \(f, g\in L^1\left(\mathbb{R}^n\right)\), \(f*g\) 存在，而且 \(f*g \in L^1\left(\mathbb{R}^n\right)\)
- 更一般的， \(f\in L^1\left(\mathbb{R}^n\right)\), \(g\in L^p\left(\mathbb{R}^n\right)\), \(1\leq p\leq \infty\), 则 \(f*g \in L^p\left(\mathbb{R}^n\right)\), 且有：
  
  \[ \left\| f*g \right\|_p \leq \left\| f \right\|_1 \left\| g \right\|_p \]
与 Fourier 变换之间的联系：

\[ \mathcal{F}\left[f*g\right] = \mathcal{F}\left[f\right] \cdot \mathcal{F}\left[g\right] \]
微分/积分特性，下面 \(h = f * g\)

\[ h'(t) = \left(f * g\right)'(t) = f'(t) * g(t) = f(t) * g'(t) \]

\[ \int_{-\infty}^{\infty} h(t) \mathrm{d}t = \left(\int_{-\infty}^{\infty} f(t) \mathrm{d}t\right) * g(t) = f(t) * \left(\int_{-\infty}^{\infty} g(t) \mathrm{d}t\right) \]

\[ h(t) = f'(t) * \left(\int_{-\infty}^{\infty} g(t) \mathrm{d}t\right) = \left(\int_{-\infty}^{\infty} f(t) \mathrm{d}t\right) * g'(t) \]
特别的，考虑 \(\delta (t)\):
- \(f(t) * \delta(t) = f(t)\)
- \(f(t) * \delta(t - t_0) = f(t - t_0)\)
- \(f(t) * \delta'(t) = f'(t) * \delta(t) = f'(t)\)
- \(f(t) * \delta^{(n)}(t) = f^{(n)}(t) * \delta(t) = f^{(n)}(t)\)
- \(\displaystyle f(t) * \int_{-\infty}^{t} \delta(t) \mathrm{d}t = \int_{-\infty}^{t} f(t) \mathrm{d}t = F(t)\)